结构力学入门：简支梁与悬臂梁的弯矩剪力
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梁是最常见的受弯构件。判断一根梁够不够强，核心是三件事：支座反力、内力（弯矩 M 与剪力 V）、变形（挠度 δ）。本文把最常用的简支梁和悬臂梁公式列清楚。
一、简支梁 · 跨中集中力 P
支座反力：R_A = R_B = P / 2
最大剪力：V_max = P / 2
最大弯矩：M_max = P·L / 4 （位于跨中）
跨中挠度：δ = P·L³ / (48·E·I)
二、简支梁 · 全跨均布载荷 q
支座反力：R_A = R_B = q·L / 2
最大剪力：V_max = q·L / 2
最大弯矩：M_max = q·L² / 8 （跨中）
跨中挠度：δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I)
三、悬臂梁 · 自由端集中力 P
固定端反力：R = P，反力矩 M_0 = P·L
自由端剪力：V = P
固定端弯矩：M_max = P·L
自由端挠度：δ = P·L³ / (3·E·I)
四、从弯矩到应力：会不会断
最大弯曲正应力由弯矩和截面抵抗矩决定：
σ_max = M_max / W
W：截面抵抗矩（矩形 W = b·h²/6；工字钢等查型钢表）
校核条件：σ_max ≤ [σ]（许用弯曲应力）
同时要校核挠度是否满足刚度要求（如 δ/L ≤ 1/250～1/400，视规范）。
五、材料与截面参数
- 弹性模量 E：钢材约 206 GPa，铝约 69 GPa，木材约 10 GPa。
- 截面惯性矩 I：矩形 I = b·h³/12；惯性矩越大，越不容易弯。
- 同样截面积下，把材料远离中性轴（如工字、箱形）能大幅提高 I。
六、算例
简支梁 L=4 m，跨中集中力 P=10 kN，矩形截面 b=100 mm、h=200 mm，钢 E=206 GPa
M_max = 10×4/4 = 10 kN·m = 1.0×10^7 N·mm
W = 100×200²/6 ≈ 6.67×10^5 mm³
σ_max = 1.0×10^7 / 6.67×10^5 ≈ 15 MPa（远低于 Q235 许用应力，安全）
七、FAQ
- 均布载荷和集中力哪个更危险？ 同等总载荷下，集中力弯矩更大，更不利。
- 挠度超了怎么办？ 加大截面高度 h（I ∝ h³，效果最显著）、换高 E 材料或减小跨度。